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la musica de los numeros primos libro completo

Escrito por chichocolmi 10-03-2018 en primos. Comentarios (0)

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Relacion ceros funcion zeta y distribucion primos

Escrito por chichocolmi 10-03-2018 en zeta. Comentarios (0)


Riemann había encontrado un pasadizo que conducía del mundo familiar de los números a una matemática que habría parecido extraña a los griegos que habían estudiado los números primos dos mil años antes que él.

Había mezclado inocentemente los “números imaginarios” con la “función zeta” descubriendo como un alquimista de las matemáticas, el tesoro que emergía de aquella mezcla de elementos, un tesoro matemático que generaciones enteras habían buscado en vano. Riemann había planteado sus ideas en un ensayo de diez páginas, pero era totalmente consciente de que aquellas ideas abrirían puntos de vista radicalmente nuevos sobre los números primos.

El punto de partida de Riemann para la elaboración de su teoría de las “funciones imaginarias” había sido el trabajo del matemático francés Cauchy y para éste una función estaba definida por una ecuación. Ahora Riemann añadió la idea de que, si bien la ecuación era el punto de partida, lo verdaderamente importante era la geometría de la gráfica de la ecuación.

El problema está en la imposibilidad de dibujar la gráfica completa de una función en la que se introducen números imaginarios. Para ilustrar su gráfica Riemann había tenido que trabajar en cuatro dimensiones. Si introducimos números complejos (con parte real y parte imaginaria) en la “función zeta” ésta se describe en un espacio de cuatro dimensiones. Dos dimensiones para trazar las coordenadas de los números complejos introducidos en la “variable independiente” de esa función, mientras que la tercera y la cuarta dimensiones se utilizaban para indicar las coordenadas que describen el número complejo resultado de la función o variable dependiente.

La dificultad consiste en que vivimos en un espacio de tres dimensiones y ello nos impide basarnos en el mundo visible para comprender este nuevo “diagrama imaginario”. Existen formas de ayudarnos a penetrar en esos mundos de más de tres dimensiones. Uno de los mejores métodos para comprenderlos es mirar las “sombras”. La sombra que proyectamos es una imagen bidimensional de nuestro cuerpo tridimensional. Si la observamos desde algunas perspectivas una sombra puede ofrecer poca información, pero vista de perfil, por ejemplo, la silueta de una persona puede revelar la información necesaria para reconocer una cara.

De forma similar podemos construir una “sombra” tridimensional del espacio de cuatro dimensiones que Riemann creó utilizando la “función zeta” con “números imaginarios”. Una “sombra” que conserve información suficiente para permitirnos captar las ideas de Riemann.

El mapa bidimensional de los números complejos que ideó Gauss nos da una representación gráfica de los números que introducimos en la “función zeta”. El eje norte-sur marca el número de pasos a dar en la dirección imaginaria, mientras que el eje este-oeste representa los números reales. Tenemos pues dos dimensiones que representar para la variable independiente y otras dos para el resultado del complejo que corresponde a la función. En total cuatro dimensiones.

Podemos extender el mapa resultante sobre una mesa. Lo que se pretende es crear un paisaje físico situado en el espacio que está sobre ese mapa. Una “sombra” tridimensional del espacio de cuatro dimensiones. La “sombra” de la “función zeta” se transformará entonces en un objeto físico, cuyas cumbres y valles podremos explorar.

La “altura” del espacio que hay sobre cada “número complejo” del mapa debería registrar el resultado que se obtiene al introducir aquel número sobre la “función zeta”. Por la misma razón que una sombra ordinaria nos muestra únicamente algunos aspectos de un objeto tridimensional, algunas informaciones se perderán inevitablemente en la construcción gráfica del paisaje. Sin embargo es posible elegir una “sombra” que recoja suficiente información para permitirnos comprender el descubrimiento de Riemann. Tal perspectiva fue de gran ayuda a Bernhard Riemann en su “viaje al otro mundo más allá del espejo”.

Paisaje de Riemann al obtener la “sombra” de la “función zeta” en tres dimensiones.

Cuando Riemann comenzó a explorar este paisaje se topó con algunos aspectos fundamentales de su geografía. Colocándose dentro del “espacio zeta” y mirando hacia el “este” el paisaje era “una llanura uniforme”. Si se giraba y miraba hacia el “oeste”, veía una “cresta de alturas onduladas” que iba de norte a sur. Las cimas de estas montañas estaban todas ellas situadas por encima de la línea que cruzaba el eje este-oeste por el número 1. Por encima de este punto de intersección había un pico que subía al cielo. Era, en efecto, infinitamente alto, tal como había descubierto Euler cuando se inserta el número 1 en la “función zeta” obtenía un resultado que tiende al infinito. Si se dirigía hacia el norte o hacia el sur de esta altura infinita, Riemann encontraba otros picos pero todos ellos eran, sin embargo de altura finita. El primer pico aparecía a poco menos de diez pasos hacia el norte, correspondiente al número complejo 1 + (9´986 …)i, y alcanzaba una altura de 1´4 unidades aproximadamente.

Si Riemann hubiera hecho girar el espacio y hubiera representado la sección transversal de las colinas correspondientes a la línea de división norte-sur que pasa por 1, habría obtenido esto:

Sección de la montaña del paisaje de Riemann por la línea que pasa por 1.

Había un aspecto crucial del paisaje que atrajo la atención de Riemann. Parecía que fuera imposible utilizar la fórmula que define la “función zeta” para construir el paisaje al “oeste” de la cadena montañosa. Riemann se topó con el mismo problema que Euler había sufrido al insertar números reales en la “función zeta”.

¿Es posible que no hubiera nada al oeste de esa frontera? Si tenía que hacer caso sólo de las ecuaciones, se diría que no se podía construir otro paisaje que el que se encuentra al “este” de 1. Las ecuaciones carecían de sentido cuando se insertaban números situados al “oeste” de 1.

Afortunadamente Riemann no se dejó desorientar por la apariencia intratable de la “función zeta”. Para él la ecuación sobre la que se basaba un paisaje imaginario debía considerarse un aspecto secundario. La importancia primordial estaba en la “topografía efectiva del paisaje de cuatro dimensiones”. Podía suceder que las ecuaciones no tuvieran sentido, pero la geometría del paisaje sugería otra cosa.

Riemann descubrió una fórmula que podía usar para construir el paisaje que faltaba al “oeste”. Este nuevo paisaje podía encajarse perfectamente con el paisaje original. Ahora un explorador del “mundo imaginario” podría pasar tranquilamente de la región definida por la fórmula de la “función zeta” de Euler, al paisaje creado por la fórmula de Riemann sin tener siquiera conciencia de cruzar una frontera.

Paisaje completo de Riemann

Llegado a este punto, Riemann ya disponía de un paisaje completo que cubría el mapa completo de los números complejos. Ahora estaba preparado para el movimiento siguiente. Durante sus estudios de doctorado había aprendido dos hechos cruciales e inesperados sobre los espacios imaginarios. En primer lugar había aprendido que ¡estaban dotados de una geometría extraordinariamente rígida! Había una única forma de expandirlos: lo que podía existir al “oeste” estaba completamente determinado por la geometría del paisaje al “este”. Riemann no podía manipular a su gusto su nuevo paisaje para crear alturas donde le apeteciera hacerlo. Cualquier modificación provocaría un “descosido en la

costura” que separaba los dos espacios.

La inflexibilidad de tales paisajes imaginarios suponía un importante descubrimiento. ¡Ocurre que cuando un cartógrafo de mundos imaginarios traza una pequeña región cualquiera del paisaje, ello le basta para reconstruirlo completo! Riemann había descubierto que las alturas y los valles presentes en una región contienen información sobre la topografía del paisaje completo. Se trata de un hecho realmente sorprendente, pues no esperaríamos que un cartógrafo del mundo real tras dibujar el contorno de la Costa del Sol pudiera ya deducir el mapa completo de España.

Pero Riemann hizo un segundo descubrimiento crucial. Descubrió lo que podríamos considerar el ADN de los espacios imaginarios: ¡cualquier cartógrafo matemático capaz de trazar sobre el mapa imaginario los puntos en los que el paisaje coincide con el “nivel del mar”, será capaz de reconstruir la configuración del paisaje completo! Por tanto, el mapa que indica tales puntos es el mapa del tesoro de cualquier paisaje imaginario. Se trata de un descubrimiento extraordinario. Un cartógrafo que viva en el mundo real no podría reconstruir los Alpes sabiendo la posición de todos los puntos del mundo que se hallan al nivel del mar. Sin embargo en los “espacios imaginarios” ¡la posición de todos los números imaginarios que tienen imagen cero lo describe todo! Estos puntos reciben el nombre de “ceros” de la “función zeta”.

Riemann sabía que lo único que tenía que hacer era marcar todos los puntos del mapa en los cuales la altura del “paisaje zeta” fuera igual a cero. Las coordenadas de todos estos “puntos situados al nivel del mar” darían información suficiente para reconstruir todas las alturas y valles sobre el nivel del mar.

Riemann no olvidaba el punto de partida de su exploración: el big bang que había creado el “paisaje zeta” era la fórmula con la que Euler había definido la “función zeta”, una fórmula que, gracias al producto de Euler, podía construirse utilizando sólo números primos. Y si ambas cosas, los “números primos” y los “ceros” de la “función zeta”, daban lugar al mismo espacio, Riemann sabía que tenía que existir un nexo que los ligara: un único objeto construido de dos maneras distintas. Fue el genio de Riemann el que desveló como aquellas dos entidades eran dos caras de la misma ecuación.

La fórmula explícita que Riemann había descubierto utilizando el “paisaje zeta” expresaba un nexo directo entre los “números primos” y los “ceros”. La fórmula se interpretaba como una forma de comprender los “números primo” a través del análisis de los “ceros”.

Cuando se iba hacia el norte los “ceros” se repelían unos a otros, a los “ceros” no les gusta nada la compañía. Al contrario de lo que sucede con los números primos, a un “cero” nunca le siguen otros “ceros en rápida sucesión.

Aunque la nueva función de Riemann representaba una mejora en relación a la “función logaritmo” de Gauss, seguía produciendo algunos errores. Pero el deambular de éste por el mundo imaginario le dio acceso a algo que Gauss ni siquiera habría logrado soñar: un método para eliminar los errores. Riemann comprendió que usando los puntos del mapa de los “número complejos” que señalaban los lugares en los que el “espacio zeta” estaba al nivel del mar, podía deshacerse de los errores y obtener ¡una fórmula exacta para contar los números primos! Ese fue el segundo ingrediente clave de su fórmula.

Euler había hecho un descubrimiento sorprendente: si se insertaba un número imaginario en la función exponencial se obtenía una onda sinusoidal:


La curva en rápido ascenso que se asocia normalmente a la función exponencial se transformaba con la introducción de estos números imaginarios en una curva de marcha sinuosa.

Riemann comprendió que era posible extender el descubrimiento de Euler usando un mapa de puntos correspondientes a los “ceros” del paisaje imaginario. En aquel mundo del otro lado del espejo consiguió ver cómo, usando la “función zeta”, cada uno de aquellos puntos se podía transformar en una onda.

Las características de cada onda venían determinadas por la posición del correspondiente “cero”. Cuanto más al norte se situaba un punto al nivel del mar, más rápidamente oscilaba la onda correspondiente.

¿Por qué tales ondas eran útiles para contar los números primos? Riemann hizo un descubrimiento espectacular: ¡en las “alturas” variables de aquellas ondas estaba codificado el modo de corregir los errores que aparecían en la estimación de la cantidad de números primos. La función de Riemann, R(N), proporcionaba una estimación razonablemente buena de la cantidad de números primos menores o iguales que N, pero si a esta estimación se le añadía la altura de cada onda, podía obtener el número exacto de números primos. Había eliminado completamente el error. Había conseguido desenterrar el “santo grial” que Gauss había buscado en vano: una fórmula exacta para calcular el número de primos menores o iguales que N, siendo N un número cualquiera que queramos elegir en cada caso.

Las fases de este descubrimiento serían “números primos” = “ceros” = “ondas”.

Rieman fue testigo de la paulatina metamorfosis de los números primos. Los números primos crean el “paisaje zeta” y los puntos que en tal paisaje se encuentran al nivel del mar son la clave para desentrañar sus secretos. Riemann sabía que, dado que existían infinitos números primos, en el “paisaje zeta” existen también infinitos puntos que se encuentran al nivel del mar. Por tanto tienen que existir infinitas ondas que permitan mantener los errores bajo control.

Hay una manera muy gráfica de ver que la adición de cada onda suplementaria mejora la estimación de la cantidad de números primos que proporciona la fórmula de Riemann R(N). Ahora ya no es una función continua, sino que se puede superpones con la función escalonada que nos daba el número exacto de los primeros números primos.

Función escalonada de Gauss

Curva sinusoidal de Riemann

Curva sinusoidal de Riemann, superponible con la función escalonada que nos proporciona el número exacto de primos que existen menores o iguales que cualquier número que elijamos N. Son las “alturas” de estas ondas las que controlan la diferencia entre la estimación de Gauss y la verdadera cantidad de números primos.

Riemann fue a la caza de los “ceros” y en cuanto empezó a analizar la posición exacta de estos puntos se sorprendió muchísimo: en lugar de distribuirse de manera aleatoria por todo el mapa, los “ceros” que calculaba se disponían milagrosamente sobre una recta que cruzaba el paisaje en dirección norte-sur.

Recta mágica de Riemann o “línea crítica” donde se encuentran todos los “ceros”

Hasta ahora hallados.

¡Era como si cada punto situado al nivel del mar tuviera la misma coordenada este-oeste, igual a ½! Si era cierto significaba que todas las ondas estaban perfectamente equilibradas, que ninguna de ellas producía una nota más intensa que las demás.

Línea de “puntos al nivel del mar” observada desde el oeste del paisaje de Riemann.

Los primeros puntos que halló Riemann tenían coordenadas (1/2, 14´134 725 …), medio paso al “este” y 14´134 725 … pasos al “norte”, los siguientes (1/2, 21¨022 040 …), (1/2, 25¨010 856 …) que indicaban que se encontraban a lo largo de una “recta mágica” que cruzaba el espacio. Riemann halló unos pocos de “ceros”, pero estaba convencido de que todos los infimitos “ceros” estaban alineados sobre dicha recta.

El matemático alemán vio estupefacto que la disposición caótica de los números primos en “nuestro lado del espejo”, en el mundo real, se transformaba en el orden absolutamente rígido de los ceros “al otro lado del espejo”. Por fin, había identificado la misteriosa estructura que durante siglos y siglos los matemáticos de todas las épocas habían deseado ardientemente captar cuando observaban los números primos.

El descubrimiento de este patrón fue totalmente inesperado. Riemann tuvo la suerte de ser la persona adecuada en el lugar y momentos adecuados. No podía prever lo que encontraría en el otro lado del espejo, pero lo que allí encontró transformó completamente la empresa de comprender los misterios de los números primos.

Riemann no logró demostrar que todos los “ceros” se hallan sobre la “recta mágica” y aunque no se ha logrado encontrar jamás ninguno que se encuentre fuera de ella, aunque siempre sería posible que alguno cayese fuera si no se ha demostrado; en matemáticas las afirmaciones sólo se consideran verdaderas cuando pueden ser demostradas. Desde Riemann han sido múltiples los intentos por conseguirlo y aunque la gran mayoría de los matemáticos consideran verdadera la “hipótesis de “Riemann” está pendiente de demostración en cuyo caso el afortunado recibiría un premio de un millón de dólares otorgado por el Instituto Clay de Estados Unidos.

En 1866 los ejércitos de Hannover y Prusia se enfrentaron en Gotinga. Riemann marchó a Italia huyendo a toda prisa de la refriega. Parece que todo aquello fue excesivo para su frágil constitución y siete años después de su publicación del ensayo sobre los números primos moría a la temprana edad de treinta y nueve años.

Durante la primavera de 1972 ocurrió un hecho fortuito y sorprendente. El matemático Hugo Motgómery, especialista en “teoría de números”, estaba de visita en el Instituto para Estudios Avanzados de Princeton, en EE UU. Casualmente le fue presentado el conocido físico Freeman Dyson y mientras le comentaba su trabajo le mostró una imagen que representaba la gráfica de la relación de “ceros” extraída del “Paisaje zeta de Riemann”, mientras que le exponía lo que él pensaba que podían significar los intervalos que separaban dichos “ceros”. Los ojos de Dyson se iluminaron:”¡Pero si es el mismo comportamiento de las diferencias entre pares de valores propios de las matrices aleatorias hermitianas!”

Dyson explicó rápidamente a Montgomery que aquellas entidades de nombre esotérico eran utilizadas por los físicos cuánticos para predecir los niveles energéticos en un núcleo pesado cuando es bombardeado con neutrones de baja energía.

Tanto los intervalos entre los “ceros” como entre los “niveles de energía” se sucedían de una manera casi idéntica, cosa que difícilmente podía ocurrir al azar. Montgomery no podía creerlo: las configuraciones que aparecían en la distribución de los “ceros” y las que los físicos cuánticos estaban descubriendo en los niveles energéticos de los núcleos de los átomos pesados cuando eran excitados.

 El átomo más que como un sistema planetario se comporta como un “tambor”. Las vibraciones que se crean cuando se golpea están compuestas por algunas formas de ondas fundamentales, cada una con su propia frecuencia característica. En teoría, existen infinitas frecuencias posibles y, por tanto, el sonido del tambor es una combinación de estas diversas frecuencias. La complejidad de las diversas formas de ondas producidas por un tambor explica por qué muchos de los instrumentos de percusión de una orquesta no producen una nota identificable.

En 1920 los físicos comprendieron que las matemáticas que describen las frecuencias del sonido emitido por un tambor, podían usarse también para calcular los niveles energéticos de vibración de los electrones en un átomo. Cada átomo de la tabla periódica tiene su propio conjunto de frecuencias en las que prefiere vibrar con sus electrones. Estas frecuencias son las huellas dactilares de los átomos, frecuencias que los físicos utilizan con los espectroscopios para identificar los diferentes átomos. La física del átomo se diferencia de la del tambor en que utiliza números imaginarios. Y son los números imaginarios los que dan a la física cuántica su carácter probabilístico.

El primer átomo analizado por los físicos cuánticos fue el átomo de hidrógeno. Un “átomo de hidrógeno” es un tambor muy sencillo: un electrón que orbita un protón. Las ecuaciones que determinan las “frecuencias” o “niveles energéticos” de este electrón y este protón son lo bastante simples como para poder resolverse con exactitud. Pero si los físicos tuvieron éxito con el átomo de hidrógeno, en cuanto intentaron continuar con la tabla periódica descubrieron que era prácticamente imposible describirlos de una manera precisa. Cuantos más protones había en el núcleo y más electrones en la corteza más crecían las dificultades. Ante los 92 protones y 146 neutrones que forman el núcleo de un átomo de uranio-238 los físicos estaban completamente perdidos.

El problema más difícil era determinar los niveles energéticos del núcleo excitado. Descifrar la forma del tambor matemático que determinaba estos niveles energéticos del núcleo era demasiado complicado.

Hasta los años cincuenta no se encontró la manera de analizar aquellas estructuras tan complicadas. En lugar de buscar la manera de hallar los valores precisos de cada nivel energético particular, Eugene Wigner y Lev Landau hicieron con los niveles energéticos lo que Gauss había hecho con los números primos. Gauss había desechado su intención de predecir la posición concreta de un número primo en la sucesión, y optó por una estimación de la cantidad de números primos que se encontrarían en promedio a medida que se contaran. De la misma manera Wigner y Landau adoptaron este enfoque menos rígido de los niveles energéticos de un átomo. El análisis estadístico revelaría la probabilidad de encontrar, en una pequeña zona del espectro de frecuencias, los niveles energéticos de un núcleo particular.

La intuición de Wigner y Landau daba en la diana. Al comparar los valores estadísticos de los niveles energéticos calculados con los niveles energéticos hallados en los experimentos, encontraron una excelente concordancia. En particular, al observar los intervalos que separan los niveles energéticos en un núcleo de uranio, parecía que estos niveles energéticos se repelieran tal como ocurría con la distribución de “ceros” en la “recta mágica” de Riemann. De ahí la excitación de Freeman Dyson cuando Montgomery le mostró la gráfica y observar en ella la “marca” de la descripción estadística de los niveles energéticos del núcleo.

Montgomery había hecho visible aquella extraña configuración en dos áreas de la ciencia que parecía no tener nada que ver. La pregunta es, ¿por qué aquellas dos entidades, niveles energéticos y “ceros” de Riemann, tienen algo en común? ¿qué es lo que las relaciona?

Montgomery reconoce que su conversación con Dyson fue probablemente una de las coincidencias más fortuitas de la historia de la ciencia: “Fue pura casualidad que estuviera allí en el momento justo” Nadie habría esperado que la teoría de los números de Riemann y la física cuántica estuvieran tan íntimamente ligadas. Resultaba que los “átomos de los números” y los “átomos de la materia” se encontraban sometidos a la misma configuración, a la misma estructura.

 Mientras se efectuaban experimentos para confirmar el modelo de los niveles energéticos en átomos pesados propuesto por Wigner y Landau, Montgomery seguía sin confirmaciones experimentales del hecho de que los puntos al nivel del mar del “paisaje de Riemann” se comportaban en la manera en la que él creía que debían hacerlo según la teoría. Nadie había verificado que los “ceros” se repelieran realmente. El problema radicaba en que las regiones del “paisaje de Riemann” en las que es posible que se produjeran estas pautas se encontraban muy lejos del alcance de los cálculos que Montgomery podía efectuar. Debíamos trasladarnos a los más remotos rincones del universo numérico.

Igualmente haría falta tiempo antes de que los físicos experimentales construyesen aceleradores de partículas capaces de generar la energía suficiente para confirmar las predicciones teóricas de Wigner y Landau. Montgomery temía que los matemáticos nunca consiguieran calcular números tan grandes como para verificar si los “ceros” en zonas remotas de la “recta crítica” seguían la pauta prevista.

Pero Montgomery no había tenido en cuenta las grandes capacidades de cálculo de Andrew Odlyzko y del supercomputador Cray que tenía a su disposición en el laboratorio de ATT, en el corazón de Nueva Jersey. Odlyzko empezó a salir de caza de los “ceros” hasta más allá de 10 elevado a 12 unidades sobre la “recta mágica de Riemann. La separación entre los “ceros” del paisaje de Riemann con el de los niveles energéticos en los átomos pesados mostraba, efectivamente, cierto parecido entre los mismos, pero la correspondencia aún no era perfecta. Odlyzko hizo un último esfuerzo y decidió llegar hasta 10 elevado a 20 unidades hacia el norte en la “recta mágica de Riemann”.

En 1989 Odlyzco presentó en una gráfica los intervalos que separaban los “ceros” y los puso junto a los valores previstos por Montgomery. Esta vez la correspondencia era asombrosa. Se trataba de la prueba convincente de una nueva propiedad de los “ceros”. Desde aquellas distancias siderales los “ceros” enviaban un mensaje muy claro: los producía un “tambor matemático” análogo al que producía los niveles energéticos en el núcleo de los átomos excitados.

8 de diciembre de 2012


niveles de Landau

Escrito por chichocolmi 10-03-2018 en ceros. Comentarios (0)

Los niveles de Landau y los ceros de Riemann

Publicado por Matemáticas y sus fronteras el 16 febrero, 2009

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Hace 150 años Bernhard Riemann publicó una famosa memoria de 8 páginas titulada “Sobre el número de primos menores que una magnitud dada”, donde sugería que era “muy probable” que los ceros complejos de la función zeta tuvieran todos parte real igual a ½. Dicha sugerencia pasó a llamarse con el tiempo la hipótesis de Riemann(HR), convirtiéndose en uno de los problemas centrales de la Teoría de Números y por extensión de las Matemáticas Puras. La importancia de la HR estriba en que la verdad de la misma implica la mejor cota posible a las fluctuaciones de los números primos respecto a su ley de distribución promedio dada por el Teorema de los Números Primos. Otra razón de la importancia de la HR es que esa conjetura se extiende a un amplio zoo de funciones zeta asociadas a caracteres de Dirichletcurvas elípticas, etc.


Imagen de la función zeta de Riemann de David Martín de Diego

A lo largo del siglo XX ha habido varios intentos de demostración de la HR a cargo de matemáticos de primera línea como HardyLittlewoodStieltjesTuringWeilConnes, etc, que han permitido profundizar en el conocimiento de la Teoría de Números pero que no han logrado el objetivo final. Una de las vías de demostración más sugerentes fue propuesta por Polya y Hilbert en torno a 1910, según la cual la parte imaginaria de los ceros de Riemann serían frecuencias de oscilación de un sistema físico. Empleando el lenguaje de la Mecánica Cuántica,  dicha sugerencia se replantea en términos de la existencia de un operador autoadjunto, cuyo espectro discreto contuviera la parte imaginaria de todos los ceros de Riemann. Dicho operador, sería un Hamiltoniano actuando sobre un espacio de Hilbert de estados físicos, siendo los ceros de Riemann sus niveles de energía y por tanto observables. La interpretación espectral de la HR se apoya en diversos resultados “fenomenológicos”,  entre los que destaca el hecho de que los ceros de Riemann satisfacen de manera local la distribución aleatoria correspondiente a los autovalores de matrices aleatorias gaussianas del conjunto unitario (estadística GUE). Este resultado fue descubierto por Montgomery en los años 70 y comprobado numéricamente por Odlyzco en los 80.  Utilizando estos trabajos, Berry y colaboradores sugirieron que la Teoría del Caos Cuántico podría ser la clave de la solución. Partiendo de analogías entre fórmulas de la Teoría de Números y del Caos Cuántico, conjeturaron la existencia de un Hamiltoniano clásico caótico cuyas órbitas periódicas estuvieran en correspondencia con los números primos y cuya cuantización generaría los ceros de Riemann en el espectro. Dicho Hamiltoniano rompería la invariancia bajo inversion temporal para estar de acuerdo con la estadística GUE.

Bernhard Riemann

En 1999, Berry y Keating por un lado y Connes por otro, propusieron un modelo heurístico semiclásico  que contiene la aproximación media a los ceros de Riemann. Dicho modelo describe  una partícula moviéndose en una dimensión, cuyo Hamiltoniano clásico es H = xp, donde x es la posición y p es el momento. El trabajo de estos autores  difiere sin embargo en la manera en que aparecen los ceros de Riemann. En el modelo de Berry y Keating los ceros aparecen en el espectro discreto, mientras que en el de Connes el espectro es un continuo, siendo los ceros de Riemann líneas espectrales de absorción. La diferencia entre estos dos resultados opuestos se halla en la diferente elección del espacio de fases semiclásico.

En un reciente trabajo publicado en la Revista Physical Review Letters, y titulado “Landau levels and Riemann zeros” se propone una realización física del modelo de Berry-Keating y Connes empleando una partícula cargada, por ejemplo un electrón, moviéndose en un plano bajo la acción de un campo magnético perpendicular al mismo y un campo eléctrico en forma de silla. El campo magnético hace que los electrones giren en órbitas ciclotrónicas, cuyo centro describe trayectorias hiperbólicas por el efecto del campo eléctrico. Cuando el electrón se coloca en una caja finita y en el nivel de Landau de más baja energía, se obtiene un espectro continuo corregido por la parte promedio de los ceros de Riemann, lo cual está de acuerdo con el resultado semiclásico de Connes. Existen razones para pensar que la inclusión de niveles de Landau de más alta energía podrá dar una realización espectral de los ceros de Riemann, y no sólo de su aproximación promedio. Por otra parte, no hay que descartar que la versión de Berry y Keating sea realizable en el contexto del modelo de Landau. El sistema físico propuesto es de uso corriente en el estudio teórico y experimental del Efecto Hall Cuántico,  por lo que de ser cierta la conjetura de este trabajo se abriría la posibilidad de una observación experimental de los ceros de Riemann. Por otra parte la consistencia matemática del modelo posiblemente llevaría a la demostración de la HR, aunque aún es pronto para saber si esto es así.

En todo caso,  este trabajo puede servir de estímulo en la investigación sobre los aspectos matemáticos y físicos de la HR, que es sin duda uno de los retos científicos del siglo XXI.

Germán Sierra 
Instituto de Física Teórica CSIC-UAM 
Madrid

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algunos ceros de la zeta riemann

Escrito por chichocolmi 18-02-2018 en zeta. Comentarios (0)

14.134725142 21.022039639 25.010857580 30.424876126 32.935061588 37.586178159 40.918719012 43.327073281 48.005150881 49.773832478 52.970321478 56.446247697 59.347044003 60.831778525 65.112544048 67.079810529 69.546401711 72.067157674 75.704690699 77.144840069 79.337375020 82.910380854 84.735492981 87.425274613 88.809111208 92.491899271 94.651344041 95.870634228 98.831194218 101.317851006 103.725538040 105.446623052 107.168611184 111.029535543 111.874659177 114.320220915 116.226680321 118.790782866 121.370125002 122.946829294 124.256818554 127.516683880 129.578704200 131.087688531 133.497737203 134.756509753 138.116042055 139.736208952 141.123707404 143.111845808 146.000982487 147.422765343 150.053520421 150.925257612 153.024693811 156.112909294 157.597591818 158.849988171 161.188964138 163.030709687 165.537069188 167.184439978 169.094515416 169.911976479 173.411536520 174.754191523 176.441434298 178.377407776 179.916484020 182.207078484 184.874467848 185.598783678 187.228922584 189.416158656 192.026656361 193.079726604 195.265396680 196.876481841 198.015309676 201.264751944 202.493594514 204.189671803 205.394697202 207.906258888 209.576509717 211.690862595 213.347919360 214.547044783 216.169538508 219.067596349 220.714918839 221.430705555 224.007000255 224.983324670 227.421444280 229.337413306 231.250188700 231.987235253 233.693404179 236.524229666 237.769820481 239.555477573 241.049157796 242.823271934 244.070898497 247.136990075 248.101990060 249.573689645 251.014947795 253.069986748 255.306256455 256.380713694 258.610439492 259.874406990 260.805084505 263.573893905 265.557851839 266.614973782 267.921915083 269.970449024 271.494055642 273.459609188 275.587492649 276.452049503 278.250743530 279.229250928 282.465114765 283.211185733 284.835963981 286.667445363 287.911920501 289.579854929 291.846291329 293.558434139 294.965369619 295.573254879 297.979277062 299.840326054 301.649325462 302.696749590 304.864371341 305.728912602 307.219496128 310.109463147 311.165141530 312.427801181 313.985285731 315.475616089 317.734805942

intentos de despejar los numeros primos de los ceros de riemann

Escrito por chichocolmi 17-02-2018 en funcion zeta. Comentarios (0)

  • FVPI

    Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

    Yo creo que si lo que pretendemos es encontrar un algoritmo que nos diga si
    el # X es primo o no lo es....o ¿Cual es el primo # 12873491658?...de forma directa,
    lo mas probable es que no exista...
    Pero si lo que pretendemos es buscar una funcion que nos asigne una probabilidad
    al # X de que sea primo...Entonces, yo creo que es posible...
    ¿En base a que? Yo creo que seguramente a la funcion Zetta de Riemann.
    ¿Porque? Porque cada punto de la seccion (1,is) del plano complejo del
    producto de Euler contiene informacion de todos los numeros que se han usado
    para generarla. Y en el caso de la funcion Zetta, porque cada punto de la seccion (½,is)
    contiene informacion del conjunto infinito de los numeros primos. (Evidentemente
    cuanto menor sea el tamaño del 'punto', mayor sera la precision del resultado).
    Espero haberte ayudado en algo.
    Un saludo.

  • 13/12/2017, 21:45:53

    Maq77

    Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

    "...Yo creo que si lo que pretendemos es encontrar un algoritmo que nos diga si el # X es primo o no lo es....o ¿Cuál es el primo # 12873491658?...de forma directa, lo más probable es que no exista..."

    Yo tampoco creo que exista.


    "...Pero si lo que pretendemos es buscar una función que nos asigne una probabilidad al # X de que sea primo...Entonces, yo creo que es posible... 
    ¿En base a qué? Yo creo que seguramente a la función Zetta de Riemann.
    ¿Porque? Porque cada punto de la sección (1,is) del plano complejo del producto de Euler contiene información de todos los números que se han usado para generarla. Y en el caso de la función Zetta, porque cada punto de la sección (½,is) contiene información del conjunto infinito de los números primos. (Evidentemente cuanto menor sea el tamaño del 'punto', mayor será la precisión del resultado)...."

    También lo creo posible, pero siempre manteniendo algún tipo de margen de error en la predicción.


    ---------------

    Mi intención era mucho menos ambiciosa, lo único que estaba tratando era llegar a la representación de la función Zeta, pero desde una posible representación de los números primos.

    Como la función Zeta se representa como una continuación analítica en el plano de los números complejos, y como los números complejos al final siempre involucran algún tipo de giro o circunferencia, imaginé que representando a los primos dentro de una circunferencia podría aproximar una cosa a la otra.

    Luego al irme percatando de que en una sola circunferencia quedaban aún muy comprimidos los números primos, decidí separarlos en órbitas, circunferencias concéntricas, de acuerdo a su Gap (distancia que los separa del primo inmediatamente anterior).

    Esto me llevo a darme cuenta de varias cosas.

    a) El número primo 3, es el único con un Gap de Uno (1).
    b) Todos los segundos primos gemelos, (Gap 2) quedaban en la segunda órbita.
    c) Todos los primos de órbita con Gap 4 se reunían en una sola circunferencia.
    d) El crecimiento de las siguientes órbitas es: no secuencial e impredecible.
    e) Los números primos a partir del 3 siempre caen en órbitas pares.
    f) Los números compuestos también caen en órbitas bien establecidas.

    ¿Qué busco ahora?

    Por ejemplo conseguir una forma de colocar las circunferencias concéntricas que representan las órbitas en forma de rectas verticales, puede ser a través de "inversión de círculos" o alguna otra herramienta matemática. 

    Siempre con la idea que la representación de los números primos que voy generando tomen la forma más parecida posible a la representación de la función Zeta de Riemman sobre el plano de los números complejos.

    Saludos.

  • 14/12/2017, 13:37:46

    FVPI

    Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

    Si no te importa, mantennos informados de tus progresos.
    (Creo que hay muchos graficos de este tipo (graficos de Ulam y/o Sacks)
    pero dudo que esto te lleve a alguna parte).
    Gracias y un saludo.

  • 17/02/2018, 14:01:00

    chicho

    Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

    a riesgo de decir una burrada (pero con animo de aportar ), alguien se planteo la "conspirativa" posibilidad de que en realidad no exista una relacion "util" entre los 0 de Riemann y la distribución de los números primos?
    Porque entre medio de tanta intrincada complejidad, y con personas muy duchas en calculo (como hay por aca), no se nota que alguien pueda, claramente, mostrar una correspondencia clara.

    gracias a todos los que escriben y desarrollan sobre esta cuestion, sigo muy atento todos los hilos relacionados con el asunto de los ceros de zeta.

  • 17/02/2018, 15:05:51

    Weip

    Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

    ¡Hola!
    Cita:


    Escrito por chicho Ver mensaje

    En realidad ya existen relaciones útiles entre las dos cosas. Tienes por ejemplo la fórmula explícita de Riemann que relaciona los ceros de la función zeta de Riemann con la función contadora de números primos o la equivalencia entre [img class="pod_vlatex_inline" src="http://forum.lawebdefisica.com/vlatex/pics/38_aea211896ba5e1997f86d5ec021faefe.png" alt="\pi(x)=\text{Li}(x)+O(\sqrt{x}\log{x})" title="Haz doble click para mostrar el código" > y la hipótesis de Riemann.
  • 17/02/2018, 15:26:46

    chicho

    Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

    entiendo que es util para mejorar al momento de estimar la cantidad de primos menores que un numero natural dado.

    quiza sea demasiado pretencioso intentar "despejar" los primos de la funcion zeta. (que parece que es la intencion de los analisis precedentes en el hilo)