Blog de chichocolmi

sobre la funcion Zeta (y otras cosas)

copio y pego (espero que con permiso de su autor, ramanujan25449), algo que considero muy bueno

cualquier cosa que yo pueda agregar no contribuiria a la claridad de lo aqui expuesto por ramanujan. Muy bueno.


el link original es el siguiente

https://ramanujan25449.blogspot.com.ar/2012/12/el-misterio-de-los-numeros-primos.html?q=primos

Desde hace más de 2000 años las mentes más portentosas se han visto superadas por un problema matemático sin parangón, se trata de un problema tan difícil que ha atormentado a aquellos matemáticos que osaron resolverlo, algunos de ellos desistieron desesperados, otros enloquecieron con el tiempo e incluso algunos intentaron suicidarse. Hoy continúa abierta la cuestión, incluso se ha establecido una recompensa de un millón de dólares a quien consiga resolverlo.

Pero, ¿cuál es el misterio que ha atormentado a tantos matemáticos a lo largo de la historia?: el de los números primos. ¿Qué son los números primos? Desde pequeños en la escuela nos enseñan que “son aquellos números que únicamente son divisibles entre ellos mismos y la unidad”, pero lo que no se enseña es por qué son tan importantes de manera que constituyen la base de las matemáticas.

Todos los demás números que no son primos pueden construirse multiplicando números primos. De forma análoga a como los átomos constituyen las piezas básicas de las moléculas y de la materia, los números primos son los “átomos” de los que están constituidos todos los números.

Los primeros intentos para descifrar la naturaleza de los números primos datan de la antigua Grecia, ellos establecieron los principios matemáticos con los que se ha trabajado desde entonces. Los pitagóricos sabían que el número estaba en todas partes, fueron ellos los primeros en multiplicar números y los primeros en observar que había números que no se podían dividir de ninguna manera, los primos, esos números irreducibles.

Eratóstenes (Cirene276 a. C.[] - Alejandría194 a. C.) fue un matemáticoastrónomo y geógrafo griego. Ideó un sencillo algoritmo para obtener los sucesivos números primos denominado la “criba de Eratóstenes”. Consiste en ¡eliminar los múltiplos de los primeros números primos (como son el 2, 3, 5, 7, 11, 13, 23, etc.) mayores o iguales que el número primo elevado al cuadrado.

Por ejemplo: los múltiplos de 2 que se van a eliminar de la Tabla, mediante esta Criba, son el 4, 6, 8, 10, etc., que son los múltiplos de 2 mayores o iguales que 4. Para los cien primeros números sería:


Las bibliotecas y academias de la antigua Grecia comenzaron a llenarse de tablas que contenían números primos cada vez más altos. Quizás algún matemático se hizo la idea de que se haría famoso si formaba una gran tabla con todos los números primos.

Tres siglos antes de Cristo, Euclides descubrió que eso era imposible y que si alguien lo intentaba se pasaría la vida contando. Demostró de forma irrefutable que ¡hay un número infinito de números primos! y lo hizo gracias a una pieza muy ingeniosa del razonamiento lógico. Euclides de preguntaba si sería posible que de verdad existiera un número finito de números primos que se pudieran multiplicar entre sí para obtener todos los demás números. Por eso cogió su lista de primos el 2, el 3 y el 5, ¿era posible obtener todos los demás números de multiplicaciones de doses, treses y cincos. Euclides se inventó un método para construir un número que no se construyera con multiplicaciones entre estos tres números primos. Empezó por multiplicar los números elegidos y obtuvo el 30. Ahí fue donde aplicó su ingenio y añadió uno, obteniendo el 31. Si dividimos 31 entre cualquiera de estros tres números primos siempre sale 1 de resto. Euclides sabía que los números se pueden construir a partir de números primos, ¿qué hay del 31? Bueno, pues como no puede dividirse entre 2, 3 ni 5, tiene que haber otro número primo en la lista. De hecho el mismo 31 es número primo y sería añadido a la lista. Si ahora se volvía a hacer el mismo razonamiento, siempre existirá la posibilidad de añadir un nuevo número primo, por muy grande que sea la tabla. Y así fue como Euclides demostró que los números primos son infinitos.

La demostración de Euclides es una pieza clave en el razonamiento matemático, sin embargo, hubo algo que no fue capaz de entender. Euclides no pudo encontrar ningún patrón que permitiera entender donde encontrarlos. Si nos imaginamos dichos números en fila, dan la sensación de que se encuentran colocados al azar. La pregunta es, ¿existe el orden entre ellos? ¿Hay alguna manera de entenderlos, aunque sea parcialmente, como para descubrir qué patrón siguen? Cuando intentamos predecir qué número será primo o cuando buscamos fórmulas que nos ayuden a encontrarlos, terminamos dándonos cuenta de que no funcionan.

Los números primos se suceden sin orden alguno, unos están cerca de otros, otros mantienen las distancias al parecer sin un patrón que los defina, parecen no tener sentido y si hay algo que atormente a un matemático son los patrones y el sentido.

¡Un matemático es ante todo un buscador de patrones! Los matemáticos consisten en eso, en buscar patrones que organicen el campo numérico que nos rodea. Entre todos los números, los primos constituyen el mayor reto para un buscador de patrones.

La aparente ausencia de patrón trajo de cabeza a todos los matemáticos desde la época de Euclides. Los números primos eludieron las mentes matemáticas de los últimos 2000 años. El primer avance significativo no llegaría hasta finales del siglo XVIII. El descubrimiento vendría de un muchacho alemán de 15 años que se convertiría más adelante en uno de los matemáticos más importantes de la historia, Carl Friedich Gauss. De la noche a la mañana Gauss se convirtió en una estrella, gracias a la astronomía. Un planetoide recién descubierto, Ceres, en el cinturón de asteroides, había desaparecido tras el resplandor del Sol. Los astrónomos se desesperaron, pero Gauss logró hallar un patrón matemático que explicara la trayectoria del mismo y señaló a los astrónomos donde encontrarlo y tal como les indicó allí apareció.

Retrato de Carl Friedrich Gauss

Pero lo que de verdad apasionaba a Gauss eran los números. Gauss fue un niño prodigio en matemáticas pero lo que de verdad cambió el curso de la historia fue un regalo que le hicieron cuando cumplió 15 años, se trataba de un libro lleno de tablas con números. Al final del mismo había una lista de números con la que Gauss se obsesionó desde el principio, eran números primos y se pasaba horas escudriñando esos números para intentar descifrar sus secretos. Al final hizo un descubrimiento memorable. Por más que miraba esa lista de números primos, Gauss, al igual que otras generaciones de matemáticos anteriores, no encontraba un patrón para ellos, una manera de predecir dónde están. Daba la sensación de que los números primos se sucedían completamente al azar.

Fue entonces cuando Gauss realizó uno de los movimientos más clásicos del arsenal de un matemático cuando las cosas se complican demasiado se pasa al razonamiento lateral. Se trata de abordar el problema haciendo otra pregunta, en lugar de intentar predecir qué números son primos, Gauss se preguntó cuántos números primos había. Éste solía contar cuántos números primos había en cada bloque de mil. Digamos que era a lo que más tiempo dedicaba y se cuenta que sólo tardaba 15 minutos para estudiar los primos existentes en cada uno de dichos bloques de mil, llegando a acumular tablas y tablas de números primos.

Así llegó a la fantástica conclusión que originó el moderno estudio de los números primos. Euclides había establecido que había un número infinito de números primos. Gauss comenzó a estudiar cuántos exactamente había hasta el diez, cuántos hasta el cien, cuántos hasta el mil, etc.

A medida que contaba números primos parecían escasear cada vez más, pero ¿había alguna manera de saber cómo? Para Gauss la forma en que disminuían era tan aleatoria como el juego de los dados, pero a medida que contaba números se dio cuenta de que podía calcular la probabilidad de conseguir uno primo. Por ejemplo entre el uno y el cien hay 25 números primos, lo que quiere decir que tenemos “una probabilidad entre cuatro” de conseguir un número primo. Pero entre uno y mil sólo tenemos “una probabilidad entre seis” de encontrar un número primo.

A medida que subían los números primos, más se acercaba Gauss a un posible patrón. A pesar de la aleatoriedad de dichos números, ante sus ojos se iba formando una regularidad asombrosa entre la niebla. A medida que agregaba un cero a la cifra de ceros explorados, Gauss comprobó que la proporción de números primos disminuía de forma regular, con el dos como clave, es decir, desde diez mil hasta cien mil y un millón (10.000; 100.000; 1.000.000) la probabilidad de obtener un número primo bajaba de “una probabilidad entre ocho” hasta “una probabilidad entre diez” y “una probabilidad entre doce”, respectivamente”.

El patrón que había descubierto, pues, era que ¡a medida que los números explorados aumentaban, los números primos contenidos disminuían!

Cuando Gauss unió todos los números primos en una gráfica el resultado mostraba una línea ascendente, en una progresión dentada, una especie de “escalera” que saltaba cada vez que aparecía un número primo.

Función escalonada de Gauss para los cien primeros números explorados. Cada vez que aparece un número primo se refleja en un salto.

Dedujo una fórmula para poder realizar una estimación de la cantidad de números primos comprendidos entre 1 y “x” que sería x / ln x. A esta función la denominó pi(x), sin que esta pi tenga nada que ver con el “número pi”:

Si en lugar de considerar los cien primeros números exploramos los cien mil primeros números naturales, al realizar una representación gráfica análoga se pierden los detalles de cada escalón que se vuelven insignificantes, pero en cambio se puede observar la “tendencia” que siguen dichos números.

Se puede observar un “crecimiento lento y regular de los números primos”. A pesar de la extrema impredecibilidad de los números primos, este hallazgo es uno de los más sobresalientes de las matemáticas y supone uno de los hitos de la historia de las matemáticas y se conoce como “conjetura de Gauss” sobre los números primos. Ésta era la primera prueba de que los números primos seguían también un cierto patrón. Las generaciones anteriores habían estudiado los números primos uno a uno, pero Gauss al mirar de forma general logró observar la “tendencia” de los mismos.

Gauss sabía que su hallazgo no representaba más que una aproximación de los primeros números existentes, pero sí pensaba que había dado un gran paso adelante. Sin embargo, sólo había mostrado su resultado, pero no había podido realizar una demostración rigurosa, lo cual lo es todo en las matemáticas, pues las matemáticas no avanzan a base de suposiciones sino de demostraciones, pues de esta manera lo que se demuestra será verdad para siempre, al margen de cualquier contingencia.

Quizás por todo ello Gauss no publicó su trabajo, pues se trataba de una personalidad extremadamente meticulosa y perfeccionista y por tanto no estaba completamente seguro. Se limitó a guardarlo en lo que él consideraba sus habitaciones secretas. Los resultados que se negó a publicar encumbraron a Gauss como uno de los genios de las matemáticas, a la que aportó contribuciones históricas muy diversas. Se encerraba en su observatorio de la ciudad alemana de Gotinga, donde los números primos se negaban a revelarle sus secretos, pero acabó transformando esta pequeña ciudad universitaria en la meca europea de las matemáticas.

Entre sus discípulos se encontraba un joven matemático que sería el encargado de dar el siguiente gran paso: Bernhard Riemann. Riemann nación en Hannover, en Alemania, en 1826. Desde niño era de personalidad retraída y no le gustaban ni los juegos ni la interacción con otras personas, prefiriendo quedar al margen. El director de la escuela observando esta personalidad y su disposición hacia las matemáticas le ofreció para animarlo la posibilidad de disfrutar de su biblioteca y de su excelente colección de libros matemáticos. Aquello supuso para Riemann un mundo nuevo lleno de posibilidades. Aquí fue donde descubrió los números primos. Lo que Riemann aprendió acabó floreciendo de forma espectacular años más tarde.

Atraído por la presencia de Gauss, Riemann entró a estudiar en la Universidad de Gotinga en 1846. En esa universidad estaba a punto de producirse una revolución matemática. En aquel tiempo Francia era la otra meca de las matemáticas, pero mientras que allí éstas tenían una orientación más practica, en Alemania los contenidos eran más puros y abstractos. Riemann se sumergió de lleno en la revolución matemática de Gotinga, aportando ya en su doctorado una nueva teoría sobre la estructura del espacio, base sobre la que se apoyó Albert Einstein para construir su “Teoría General de la Relatividad”, que ha sido considerada como una de las aportaciones más importantes de la a la historia de las matemáticas.

A pesar de estos éxitos Riemann era un hipocondríaco con brotes depresivos, que prefería mantenerse al margen de todo detrás de una espesa barba negra. Fue su carácter introvertido lo que le llevaría a convertirse en el sucesor de Gauss cuando realizó uno de los descubrimientos que transformaron la historia de los números primos.

Bernhard Riemann 

Ya en tiempos de Euler se empezó a utilizar una sofisticada función que denominó “función zeta” y se designaba por la letra griega zeta.

Pocos matemáticos habrían podido prever hasta qué punto tal función resultaría potente como instrumento para el estudio de los números primos. El descubrimiento tuvo lugar casi por casualidad.

El origen de los matemáticos por esta suma infinita procedía de la música y se remontaba a un descubrimiento realizado por los antiguos griegos. En realidad Pitágoras había sido el primero en determinar el puente que liga matemáticas y música. Había llenado de agua un recipiente y lo había golpeado con un pequeño martillo para producir una nota. Al retirar la mitad del agua y golpear de nuevo el recipiente la nota había subido una octava. Cada vez que retiraba agua de manera que quedara un tercio, un cuarto y así sucesivamente, las notas que se producían sonaban en su oído en armonía con la primera nota que había obtenido. Cualquier otra nota que se obtuviera retirando del recipiente una cantidad distinta de agua resultaba “disonante” con respecto a la nota original. La armonía que Pitágoras había descubierto en números llevó a denominarla “serie armónica”:

Euler intentó hacer de la teoría musical una parte de las matemáticas y de deducir de forma ordenada, a partir de principios, todo lo que pueda hacer placentera una unión y una mezcla de tonos. Existe un nexo numérico obvio entre los dos campos, ya que ambos se basan en el hecho de contar. Decía Leibniz que “la música es el placer que siente la mente humana cuando cuenta sin ser consciente de contar”.

Esta “suma armónica” era, además, el resultado que obtenía Euler cuando insertaba el valor s = 1 en la “función zeta”. Aunque el valor de la suma crece muy lentamente a medida que vamos añadiendo nuevos términos, desde finales del siglo XIV los matemáticos sabían que al final tendería a infinito.

Leonhard Euler

Por tanto, la “función zeta” da un resultado infinito cuando se introduce s = 1, pero si se inserta un número mayor que uno la suma ya no tiende a infinito. Por ejemplo, tomando s = 2 habrá que tomar todos los cuadrados de la “serie armónica”:

Este es un número menor, ya que no contiene todas las fracciones posibles que contiene la “serie armónica” cuando s = 1. Ahora estamos sumando sólo algunas de las fracciones y Euler sabía que en este caso la suma no tendería a infinito sino a un número concreto, finito.

Euler encontró un valor sorprendente para esta nueva suma:

Nadie había previsto un nexo de unión entre la inocente suma:

y el irracional “número pi” = 3´ 141592…….

El descubrimiento por parte de Euler de esta relación fue la primera señal de que la “función zeta” podría desvelar puentes inesperados entre partes aparentemente diferentes del universo matemático.

El segundo nexo extraño que Euler descubrió tenía que ver con una sucesión de números aún más imprevisible. Mientras jugaba con las sumas infinitas recordó un descubrimiento de los antiguos griegos: todo número se puede construir multiplicando números primos entre sí. Entonces intuyó que había una forma alternativa de escribir la “función zeta”: que se podía descomponer cada término de la serie armónica utilizando el conocimiento de que cada número está constituido por los mismos elementos básicos: los números primos.

En lugar de expresar la serie armónica como suma infinita de todas las fracciones, Euler pudo tomar sólo las fracciones que contenían números primos: 1/2, 1/3, 1/5, 1/7,… y multiplicarlas entre sí. Pudo demostrar que en un lado estaba la “función zeta” y en el otro aparecían los números primos, es decir, pudo demostrar esto:

Pero ni el mismo Euler entendió del todo el alcance de esta nueva escritura de la “función zeta”. Hicieron falta cien años además de la capacidad de penetración de matemáticos como Bernhard Riemann.

Inicialmente lo que tenía abstraído completamente a Riemann era el extraño mundo de los números imaginarios que había creado en Francia el matemático Cauchy. Para él la función zeta representaba solamente otra función interesante en la que podían insertarse números imaginarios (o mejor dicho, números complejos) en lugar de los números reales con los que trabajaban sus contemporáneos.

Un nuevo y extraño punto de vista apareció ante sus ojos. Cuantos más folios llenaba en su escritorio mayor era su excitación. Se encontró absorbido en un túnel que lo conducía desde el mundo abstracto de las funciones imaginarias al de los números primos. Súbitamente empezaba a vislumbrar un método que podía explicar por qué la estimación de Gauss sobre la cantidad de números primos se mantenía tan precisa como Gauss había previsto. Gracias al uso de la “función zeta”, parecía que la clave para demostrar la conjetura de Gauss sobre los números primos estaba al alcance de Riemann y transformaría la intuición de aquel en la demostración que el propio Gauss había deseado.

Pero los descubrimientos de Riemann fueron mucho más allá de esta idea: se encontró observando los números primos desde una perspectiva totalmente nueva.

El paralizante perfeccionismo que había sufrido Riemann durante su época de aprendizaje casi le impidió poner por escrito uno solo de sus descubrimientos. Estaba influido por la insistencia de Gauss de publicar sólo demostraciones perfectas, libres de cualquier tipo de lagunas.

Sin embargo, un hecho le hizo sortear en parte esta actitud. Acababan de llamarlo a la Academia de Berlín, donde se acostumbraba a pedir a los nuevos miembros la presentación de una relación escrita de sus trabajos recientes, lo cual le obligó a asumir un plazo para elaborar un ensayo sobre aquellas ideas nuevas.

En noviembre de 1859 Riemann publicó en la Academia de Berlín un ensayo sobre sus descubrimientos. Eran diez páginas de densa matemática que estaban destinadas a ser las únicas que Riemann publicaría sobre la cuestión de los números primos y a pesar de ello habrían de tener un efecto fundamental sobre la forma en que serían percibidos. La “función zeta” proporcionó a Riemann algo a sí como un espejo en el cual estos números aparecían transformados. Como en “Alicia en el país de las maravillas”, a través de la madriguera de un conejo, el ensayo de Riemann absorbió en torbellino a los matemáticos, desde el mundo que les era familiar hasta un territorio matemático nuevo y llena de sorpresas. Cuando en los decenios siguientes se pudo hacer balance de lo conseguido con aquella nueva perspectiva se comprendió la genialidad de Bernhard Riemann.

Sin embargo, a pesar de sus cualidades visionarias, aquel ensayo de diez páginas era profundamente frustrante. Lo mismo que Gauss, Riemann acostumbraba a borrar sus rastros al escribir. El texto anuncia muchos resultados que éste afirma poder demostrar, pero que en su opinión aún no estaban a punto para ser publicados. En cierto modo parece un milagro que hubiese publicado su ensayo sobre los números primos, dadas las lagunas que contenía.

Si hubiera continuado aplazándolo probablemente hoy habríamos sido privados, particularmente, de una conjetura que decía no poder demostrar todavía, el enunciado del problema que hoy aún persiste sin poder demostrarse, aunque todo el mundo matemático admite la verdad del mismo, y cuya demostración se premia con un millón de dólares: “la hipótesis de Riemann”.

Riemann era bastante sincero sobre sus propias limitaciones al hablar sobre la hipótesis que acabaría llevando su nombre: “Naturalmente que me gustaría tener una demostración rigurosa de ello, pero he dejado de lado la búsqueda de esa demostración después de algunos intentos infructuosos, ya que no es necesaria para el objetivo de mi investigación”.

El objetivo principal de su ensayo berlinés era confirmar que la “función de Gauss” proporcionaría una aproximación cada vez mejor de la cantidad de números primos a medida que avanzáramos en el cómputo. Sin embargo, si bien Riemann no proporcionó todas las respuestas, su ensayo introdujo una forma de aproximarse al problema completamente nueva, una aproximación que fijaría el curso de la “teoría de los números” hasta nuestros días ….

1 de diciembre de 2012

         


Comentarios

No hay ningún comentario

Añadir un Comentario: